یکی از اشکالات روش المان محدود، وابستگی آن به اندازه مش (یا سایز المان ها) است. طبق اصلی کلی، برای اعتبار داشتن یک حل المان محدود، باید همگرایی اتفاق افتاده باشد، بدین معنی که از لحاظ تئوری، هرچه المان ها ریزتر شوند، جواب ها تغییری نکند. تضمین این اتفاق که اصل معتبر بودن حل ما را تعیین می کند، اعتبارسنجی (Verification) خوانده می شود.
البته عدم هیچگونه تغییر در جواب ها بحثی تئوری و ایده آل است. از همین رو، محک هایی تجربی و کاربردی به عنوان جایگزین ارائه شده که یکی از رایج ترین آن ها عبارت است از:
« اگر اندازه المان هایی که مسئله با آن حل شده است را نصف کنیم، نباید در جواب موردنظر ما تغییراتی بیش از 10 درصد ایجاد شود.»
در شکل زیر، خط قرمز جواب واقعی مسئله است (که البته بیشتر اوقات ما از آن هیچ اطلاعی نداریم) و خط آبی نتایج به دست آمده از تحلیل های متوالی آباکوس را نشان می دهد.
دقت کنید که این محک، تعیین «جواب موردنظر» را برعهده تحلیلگر می گذارد و کاربر خود باید تشخیص دهد در مسئله مورد حل، چه پارامتری اهمیت زیادی دارد و باید همگرایی در مورد آن بررسی شود.
مثال:
به عنوان نمونه، فرض کنید می خواهیم مسئله بسیار کلاسیک تمرکز تنش در یک صفحه سوراخ دار را بررسی کنیم. از لحاظ تئوری ضریب تمرکز تنش در حفره ی به اندازه کافی کوچک، برابر 3 می شود.
از این رو انتظار می رود جواب حل المان محدود به این عدد میل کند.
حال با توجه به ابعاد مسئله، حل را با اندازه ای شروع می کنیم. مش اولیه را تا حد معقول (مثلاً یکی از معیارهای معقول بودن این اندازه اولیه در مسئله ما، حفظ تقریبی انحنای سوراخ دایروی هنگام المان بندی آن است) درشت (Course) انتخاب می کنیم. سپس در مراحل بعدی این اندازه مش را دوباره ریزتر (نصف) کرده و مسئله دوباره حل می شود.
ضریب تمرکز تنش از تقسیم این تنش بر تنش وارده به طرفین صفحه (=نیروی گسترده) محاسبه میشود.اگر تنش تقریبی در حوالی حفره را برحسب اندازه المان انتخابی بررسی کنیم، جواب ها مثلاً به صورت زیر خواهد بود:
|
شماره حل |
اندازه کلی المان |
ضریب تمرکز تنش |
تغییرات |
|
1 |
200 |
1.8 |
- |
|
2 |
100 |
2.2 |
22% |
|
3 |
50 |
2.8 |
18% |
|
4 |
25 |
2.6 |
7% |
|
5 |
12.5 |
2.9 |
|
|
6 |
6.26 |
3.0 |
|
دقت کنید در مرحله 3 وقتی المان ها یک مرتبه ریز شدند، تغییرات جواب کمتر از 10 درصد بود. بر این اساس میتوانیم این جواب (المان 50) را به عنوان حل المان محدودمان بپذیریم و اگر جایی قصد دفاع از حلمان را داریم، آن را در کنار حل با المان 25 مورد مقایسه قرار دهیم. پس جواب المان محدود در این مسئله خاص ما، ضریبی حدود8/2 برای تمرکز تنش است (دقت کنید ضریب 3 برای حالت ایده آل صفحه با عرض بینهایت است)
دقت کنید که مانند مسئله فوق، در مسائل واقعی همه چیز مانند شکل نمادین همگرایی جوا بها به جواب اصلی (شکل اول)، ایده آل پیش نمی رود و چنانکه در بالا می بینید گاهی تمرکز تنش حتی کم هم می شود و اگر روند حل را ادامه دهیم ضریب تمرکز تنش از 3 بیشتر شده و همینطور مداوماً بالا برود!
پس میتوان از مطالب فوق چنین نتیجه گرفت که در حل مسائل المان محدود به صورت عملی و کاربردی، ابتدا مدل را با استفاده از المانی نسبتاً درشت حل مینماییم. البته این درشت بودن المان نسبی است و به ابعاد هندسی مسئله، جزئیات موجود در آن (سوراخها، Filletها و...) و میزان اهمیت آن ها برای ما و صد البته تجربه شخصی کار با نرم افزار برمی گردد. پس از اتمام حل اول، اندازه المانها یا در صورت بزرگ بودن مدل، تنها در نواحی ای که نتیجه مدنظر ما قرار دارد (مثلاً ناحیه ای که بیشترین تنش را دارد)، را نصف نموده و مسئله را دوباره حل میکنیم. این روند تا جایی که نتایج موردنظر از دو حل متوالی، با یکدیگر کمتر از ده درصد اختلاف داشته باشند، ادامه پیدا می کند. پس جواب سؤال فوق، عبارت بدیهی زیر است:
«المانها را تا حدی ریز میکنیم که مورد نیازمان باشد!!!»